गणित में घातांक (Indices / Exponents) और करणी (Surds) दो ऐसी महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं जिनका उपयोग अंकगणित, बीजगणित और प्रतियोगी परीक्षाओं में बार-बार किया जाता है। इनके माध्यम से बड़ी संख्याओं को सरल रूप में लिखा जाता है और जटिल गणनाओं को आसान बनाया जाता है।
इस लेख में हम जानेंगे:
- घातांक क्या है
- घातांक के नियम
- करणी की परिभाषा
- करणी के प्रकार
- करणी के नियम
- हल किए हुए उदाहरण
- अभ्यास प्रश्न
- FAQs
घातांक (Exponent / Index) क्या होता है?
जब किसी संख्या को बार-बार अपने आप से गुणा किया जाता है, तो उसे घातांक रूप में लिखा जाता है।
सामान्य रूप:
aⁿ
जहाँ –
- a = आधार (Base)
- n = घातांक (Exponent / Index)
उदाहरण:
2³ = 2 × 2 × 2 = 8
यहाँ 2 आधार है और 3 घातांक है।
घातांक यह बताता है कि किसी संख्या को कितनी बार स्वयं से गुणा किया गया है।
घातांक के नियम (Laws of Exponents)
घातांक के नियम algebraic simplification में बहुत उपयोगी होते हैं।
1. समान आधार का गुणा
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
2. समान आधार का भाग
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
3. घात का घात
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
4. गुणन का घात
(ab)ⁿ = aⁿ bⁿ
5. भाग का घात
(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ
6. शून्य घात नियम
a⁰ = 1
7. ऋणात्मक घात
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
घातांक के उदाहरण
- 5² × 5³ = 5⁵
- (2³)² = 2⁶
- 10⁰ = 1
- 4⁻² = 1/16
करणी (Surds) क्या होती है?
ऐसी मूल संख्याएँ जिनका मान पूर्ण संख्या में न निकले और जो अपरिमेय हों, उन्हें करणी कहते हैं।
उदाहरण:
√2, √3, ∛5
लेकिन √16 = 4 होता है, इसलिए यह करणी नहीं है।
करणी के प्रकार
1. शुद्ध करणी
जैसे √2, √5
2. मिश्र करणी
जैसे 3√2
3. समान करणी
जिनमें मूल समान हो, जैसे 2√3 और 5√3
4. संयुग्मी करणी
जैसे (4 + √5) और (4 − √5)
करणी के नियम (Rules of Surds)
1. गुणा नियम
√a × √b = √ab
2. भाग नियम
√a / √b = √(a/b)
3. घात नियम
(√a)² = a
4. सरलीकरण नियम
√50 = 5√2
करणी के उदाहरण
- √8 = 2√2
- √18 = 3√2
- √2 × √8 = √16 = 4
- √75 = 5√3
घातांक एवं करणी का आपसी संबंध
करणी को घातांक में लिखा जा सकता है:
√a = a¹ᐟ²
∛a = a¹ᐟ³
इससे गणनाएँ और भी सरल हो जाती हैं।
अभ्यास प्रश्न
- 2⁴ × 2³ = ?
- √32 को सरल करें।
- (3²)³ का मान निकालिए।
- 5⁻¹ का मान ज्ञात करें।
- √72 को simplest form में लिखिए।
FAQs – अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
Q1. घातांक किसे कहते हैं?
घातांक वह संख्या होती है जो बताती है कि किसी आधार को कितनी बार स्वयं से गुणा किया गया है।
Q2. करणी क्या होती है?
ऐसी मूल संख्या जिसका मान पूर्ण संख्या में न आए, करणी कहलाती है।
Q3. a⁰ का मान कितना होता है?
a⁰ = 1 (जब a ≠ 0)
Q4. क्या √9 करणी है?
नहीं, क्योंकि √9 = 3 होता है जो पूर्ण संख्या है।
Q5. ऋणात्मक घात का क्या अर्थ है?
ऋणात्मक घात संख्या का उल्टा (reciprocal) दर्शाता है।
निष्कर्ष
घातांक एवं करणी गणित की नींव को मजबूत करते हैं। इनके नियमों को समझ लेने से algebra, simplification और competitive exams के सवाल बेहद आसान हो जाते हैं। नियमित अभ्यास से आप इन टॉपिक्स में महारत हासिल कर सकते हैं।