बहुपद (Polynomial) की परिभाषा, सूत्र, प्रकार और उदाहरण

गणित के बीजगणित (Algebra) में बहुपद (Polynomial) एक अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है। कक्षा 8, 9, 10 के छात्रों के साथ-साथ प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, Banking, Railway आदि) के लिए भी बहुपद की स्पष्ट समझ जरूरी होती है।

इस लेख में हम विस्तार से जानेंगे:

बहुपद क्या है
बहुपद का सामान्य सूत्र
बहुपद के प्रकार
डिग्री (Degree) क्या होती है
उदाहरण सहित समझाना
महत्वपूर्ण बिंदु
5 FAQs

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बहुपद (Polynomial) की परिभाषा

बहुपद वह बीजगणितीय व्यंजक होता है जिसमें—

• एक या एक से अधिक पद (Terms) हों
• चर (Variable) जैसे x, y, a हों
• अचर (Constant) जैसे 2, 5, –7 हों
• और चर के घातांक हमेशा धनात्मक पूर्णांक या शून्य हों

सरल शब्दों में:

जिन बीजगणितीय व्यंजकों में चर का घात 0, 1, 2, 3… होता है, उन्हें बहुपद कहते हैं।

उदाहरण

• 3x² + 5x + 7
• 4y³ – 2y + 9
• 6x
• 8

ये सभी बहुपद हैं।

लेकिन—

• 1/x
• √x
• x⁻²

ये बहुपद नहीं हैं, क्योंकि इनमें घातांक ऋणात्मक या भिन्न है।

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बहुपद का सामान्य सूत्र

किसी भी बहुपद को सामान्य रूप से ऐसे लिखा जाता है:$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0$$P(x)=an​xn+an−1​xn−1+…+a1​x+a0​

जहाँ:

• P(x) = बहुपद
• x = चर
• aₙ, aₙ₋₁…a₀ = गुणांक (Coefficients)
• n = बहुपद की घात या डिग्री (Degree)

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बहुपद के मुख्य भाग

पद (Term)

बहुपद का हर अलग हिस्सा पद कहलाता है।

जैसे:
3x² + 5x + 7 में तीन पद हैं — 3x², 5x और 7

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गुणांक (Coefficient)

चर के साथ लगा अंक गुणांक कहलाता है।

जैसे:
5x में 5 गुणांक है।

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स्थिर पद (Constant Term)

जिस पद में कोई चर न हो।

जैसे: 7

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डिग्री (Degree)

किसी बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात को उसकी डिग्री कहते हैं।

उदाहरण:
4x³ + 2x + 1
यहाँ डिग्री = 3

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बहुपद के प्रकार

बहुपद को दो तरीकों से वर्गीकृत किया जाता है:

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A. डिग्री के आधार पर

1. शून्य बहुपद (Zero Polynomial)

जिसमें केवल स्थिर पद हो।

उदाहरण: 5, –9

डिग्री = 0

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2. रैखिक बहुपद (Linear Polynomial)

डिग्री = 1

रूप: ax + b

उदाहरण: 2x + 3

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3. द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial)

डिग्री = 2

रूप: ax² + bx + c

उदाहरण: x² + 5x + 6

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4. त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial)

डिग्री = 3

उदाहरण: 4x³ + x – 2

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5. उच्च घात बहुपद

डिग्री 4 या उससे अधिक।

उदाहरण: 2x⁴ + 3x² + 7

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B. पदों की संख्या के आधार पर

एकपदी (Monomial)

एक पद वाला बहुपद
उदाहरण: 5x

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द्विपदी (Binomial)

दो पद वाला बहुपद
उदाहरण: x + 3

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त्रिपदी (Trinomial)

तीन पद वाला बहुपद
उदाहरण: x² + 2x + 1

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बहुपदी

चार या अधिक पद वाला बहुपद
उदाहरण: x⁴ + x³ + x² + x + 1

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हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1:

3x² + 7x + 5

डिग्री = 2
प्रकार = द्विघात त्रिपदी बहुपद

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उदाहरण 2:

6x

डिग्री = 1
प्रकार = रैखिक एकपदी बहुपद

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उदाहरण 3:

9

डिग्री = 0
प्रकार = शून्य बहुपद

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बहुपद से जुड़े महत्वपूर्ण बिंदु

बहुपद में चर का घात ऋणात्मक या भिन्न नहीं हो सकता
बहुपद में भाग (÷) नहीं होता
दो बहुपदों का जोड़, घटाव और गुणा हमेशा बहुपद देता है
हर एकपदी, द्विपदी और त्रिपदी भी बहुपद ही होते हैं

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Frequently Asked Questions (FAQs)

Q1. बहुपद क्या होता है?

उत्तर: वह बीजगणितीय व्यंजक जिसमें चर की घात धनात्मक पूर्णांक या शून्य हो, बहुपद कहलाता है।

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Q2. क्या √x बहुपद है?

उत्तर: नहीं, क्योंकि इसमें घात ½ है।

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Q3. 5 एक बहुपद है?

उत्तर: हाँ, यह शून्य घात का बहुपद है।

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Q4. बहुपद की डिग्री कैसे ज्ञात करें?

उत्तर: चर की सबसे बड़ी घात देखकर।

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Q5. क्या x⁻¹ बहुपद है?

उत्तर: नहीं, क्योंकि घात ऋणात्मक है।

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निष्कर्ष

बहुपद गणित का आधार स्तंभ है। यदि आपको बहुपद की परिभाषा, सूत्र, प्रकार और डिग्री अच्छी तरह समझ आ जाए, तो आगे के अध्याय जैसे—

बहुपद के शून्य
गुणनखंड
समीकरण

बहुत आसान हो जाते हैं।