बेलन (Cylinder) – परिभाषा, सूत्र और उदाहरण

बेलन (Cylinder) गणित की एक महत्वपूर्ण त्रि-आयामी (3D) आकृति है, जिसका उपयोग क्षेत्रमिति (Mensuration) में आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने के लिए किया जाता है। स्कूल-स्तर से लेकर प्रतियोगी परीक्षाओं तक, बेलन से जुड़े प्रश्न बार-बार पूछे जाते हैं। इस लेख में आप विस्तार से सीखेंगे।

बेलन क्या है? (Definition of Cylinder)

बेलन वह 3D ठोस आकृति है जिसमें:

ऊपर और नीचे दो समान एवं समांतर वृत्ताकार आधार (circular bases) होते हैं
इन दोनों आधारों को जोड़ने वाली एक वक्र सतह (curved surface) होती है
आधारों के केन्द्रों को जोड़ने वाली रेखा को अक्ष (Axis) कहते हैं
आधार के केन्द्र से किनारे तक की दूरी त्रिज्या (r) और दोनों आधारों के बीच की दूरी ऊँचाई (h) कहलाती है

सरल शब्दों में—दो बराबर गोल चक्करों को एक घुमावदार सतह से जोड़ दें, वही आकृति बेलन है।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

पानी की टंकी, पाइप, सॉफ्ट-ड्रिंक का कैन, रोलर, गैस सिलेंडर—ये सभी बेलन के व्यावहारिक उदाहरण हैं।

बेलन के भाग (Parts of Cylinder)

त्रिज्या (r) – आधार वृत्त का आधा व्यास
ऊँचाई (h) – दोनों आधारों के बीच की दूरी
वक्र सतह – साइड की घुमावदार सतह
आधार – ऊपर और नीचे के वृत्त
अक्ष (Axis) – दोनों केन्द्रों को जोड़ने वाली रेखा

बेलन की विशेषताएँ (Properties)

दो समान वृत्ताकार आधार
एक वक्र सतह
कोई शीर्ष (Vertex) नहीं
कुल 3 सतहें (2 समतल + 1 वक्र)
2 किनारे (Edges)
आयतन त्रिज्या और ऊँचाई पर निर्भर करता है

बेलन के सभी महत्वपूर्ण सूत्र (Cylinder Formulas)

मान लें:

त्रिज्या = r
ऊँचाई = h
π (पाई) ≈ 22/7 या 3.14

1. बेलन का आयतन (Volume of Cylinder)

$\boxed{V = \pi r^2 h}$ V=πr2h

अर्थ: आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

2. वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area – CSA)

$\boxed{CSA = 2\pi r h}$ CSA=2πrh

यह केवल बेलन की साइड वाली सतह का क्षेत्रफल है।

3. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area – TSA)

$\boxed{TSA = 2\pi r(h + r)}$ TSA=2πr(h+r)

इसमें वक्र सतह + दोनों वृत्ताकार आधार शामिल होते हैं।

छोटा सा सिद्धान्त (Net of Cylinder)

जब बेलन को खोलते हैं:

वक्र सतह → एक आयत बन जाती है (लंबाई = 2πr, चौड़ाई = h)
दोनों आधार → दो वृत्त

इसी से CSA और TSA के सूत्र बनते हैं।

हल किए हुए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1

एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है।
आयतन ज्ञात करें।

हल: $V = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 10$ V=πr2h=722×72×10 $= 1540 \text{ सेमी}^3$ =1540 सेमी3

उदाहरण 2

यदि r = 3 सेमी और h = 14 सेमी, तो CSA ज्ञात करें।

हल: $CSA = 2\pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 3 \times 14 = 264 \text{ सेमी}^2$ CSA=2πrh=2×722×3×14=264 सेमी2

उदाहरण 3

त्रिज्या 5 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी वाले बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल? $TSA = 2\pi r(h+r) = 2 \times 3.14 \times 5 \times (8+5) = 408.2 \text{ सेमी}^2 (लगभग)$ TSA=2πr(h+r)=2×3.14×5×(8+5)=408.2 सेमी2(लगभग)

बेलन के प्रकार (Types of Cylinder)

1. समवृत्त बेलन (Right Circular Cylinder)

जिसमें अक्ष आधार पर लम्बवत होती है—अधिकतर प्रश्न इसी प्रकार के होते हैं।

2. तिरछा बेलन (Oblique Cylinder)

जिसमें अक्ष तिरछी होती है।

FAQs – अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

Q1. बेलन का आयतन कैसे निकालते हैं?

सूत्र: V = πr²h

Q2. CSA और TSA में क्या अंतर है?

CSA केवल वक्र (साइड) सतह का क्षेत्रफल है, जबकि TSA में वक्र सतह + दोनों आधार शामिल होते हैं।

Q3. बेलन में कितनी सतहें होती हैं?

कुल 3 सतहें—2 समतल वृत्त और 1 वक्र सतह।

Q4. बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल किस पर निर्भर करता है?

त्रिज्या (r) और ऊँचाई (h) पर।

Q5. बेलन और घनाभ में मुख्य अंतर क्या है?

बेलन के आधार वृत्ताकार होते हैं, जबकि घनाभ के आधार आयताकार।

निष्कर्ष

बेलन (Cylinder) क्षेत्रमिति का एक आधारभूत लेकिन बेहद उपयोगी अध्याय है। यदि आप इसके सूत्रों को समझकर याद कर लें और 2–3 उदाहरण रोज़ अभ्यास करें, तो परीक्षा में बेलन से जुड़े प्रश्न बहुत आसान लगने लगेंगे।