गणित में क्रमचय एवं संचय (Permutation & Combination) एक अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है, जो प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, बैंक, रेलवे), बोर्ड परीक्षा और Probability जैसे टॉपिक्स की नींव बनाता है।

सरल शब्दों में कहें तो यह अध्याय हमें सिखाता है:

कितने तरीकों से चीज़ों को सजाया जा सकता है
कितने तरीकों से चीज़ों को चुना जा सकता है

इस ब्लॉग में आप सीखेंगे:

• क्रमचय की परिभाषा
• संचय की परिभाषा
• सभी मुख्य सूत्र
• ट्रिक्स
• हल सहित उदाहरण
• महत्वपूर्ण सवाल
• 5 FAQs

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क्रमचय (Permutation) क्या होता है?

जब वस्तुओं को किसी निश्चित क्रम (order) में व्यवस्थित किया जाता है, तब उसे क्रमचय (Permutation) कहते हैं।

मुख्य बात

क्रमचय में क्रम बदलते ही परिणाम बदल जाता है।

उदाहरण

यदि A, B, C तीन अक्षर हैं:

ABC ≠ BAC ≠ CAB

तीनों अलग-अलग माने जाएंगे।

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क्रमचय का सूत्र

यदि n वस्तुओं में से r वस्तुओं को क्रम में चुनना हो:$$nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$$nPr​=(n−r)!n!​

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संचय (Combination) क्या होता है?

जब वस्तुओं का केवल चयन किया जाए और क्रम का कोई महत्व न हो, तब उसे संचय (Combination) कहते हैं।

मुख्य बात

संचय में क्रम मायने नहीं रखता।

उदाहरण

AB = BA (दोनों समान माने जाएंगे)

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संचय का सूत्र

$$nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$nCr​=r!(n−r)!n!​

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फैक्टोरियल (!)

किसी संख्या का फैक्टोरियल:$$n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 1$$n!=n×(n−1)×(n−2)×…×1

उदाहरण

5! = 5×4×3×2×1 = 120

विशेष:
0! = 1

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क्रमचय और संचय में अंतर

बिंदु	क्रमचय	संचय
क्रम	महत्वपूर्ण	महत्वपूर्ण नहीं
सूत्र	nPr	nCr
उपयोग	व्यवस्था	चयन
उदाहरण	ABC ≠ BAC	AB = BA

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दोनों का संबंध

$$nP_r = nC_r × r!$$nPr​=nCr​×r!

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हल सहित उदाहरण

उदाहरण 1

5 विद्यार्थियों में से 3 को पंक्ति में बैठाना है।

क्रम मायने रखता है → क्रमचय$$5P_3 = \frac{5!}{2!} = 60$$5P3​=2!5!​=60

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उदाहरण 2

5 विद्यार्थियों में से 3 की टीम बनानी है।

क्रम मायने नहीं रखता → संचय$$5C_3 = 10$$5C3​=10

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परीक्षा में पूछे जाने वाले सामान्य सवाल

प्रश्न 1

4 वस्तुओं से 2 को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?$$4C_2 = 6$$4C2​=6

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प्रश्न 2

6 लड़कों में से 3 को पंक्ति में बैठाने के कितने तरीके हैं?$$6P_3 = 120$$6P3​=120

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प्रतियोगी परीक्षा के लिए ट्रिक्स

पहले पहचानें — क्रम है या चयन?
बार-बार आने वाले फैक्टोरियल मान याद रखें
(3! = 6, 4! = 24, 5! = 120)
बड़े सवालों में पहले simplify करें
nCr = nC(n-r) का प्रयोग करें

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Frequently Asked Questions (FAQs)

1. क्रमचय और संचय में सबसे बड़ा अंतर क्या है?

क्रमचय में क्रम जरूरी होता है, संचय में नहीं।

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2. कब Permutation लगाएँ?

जब बैठाना, सजाना, नंबर बनाना या क्रम बनाना हो।

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3. कब Combination लगाएँ?

जब टीम बनानी हो, वस्तुएँ चुननी हों या समूह बनाना हो।

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4. क्या AB और BA अलग हैं?

Permutation में हाँ
Combination में नहीं

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5. क्या 0! हमेशा 1 होता है?

हाँ, गणित में 0! = 1 माना जाता है।

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निष्कर्ष

क्रमचय एवं संचय गणित का बेहद शक्तिशाली अध्याय है। यदि आप इसकी परिभाषा, सूत्र और लॉजिक अच्छे से समझ लें, तो बड़े-से-बड़े सवाल भी आसान लगने लगते हैं।

नियमित अभ्यास + सही पहचान = सफलता