समकोण त्रिभुज गणित की सबसे महत्वपूर्ण आकृतियों में से एक है। स्कूल स्तर से लेकर प्रतियोगी परीक्षाओं तक—क्षेत्रफल, परिमाप, पाइथागोरस प्रमेय और त्रिकोणमिति—सबकी नींव इसी पर टिकी होती है। इस लेख में हम समकोण त्रिभुज की परिभाषा, उसके सभी जरूरी सूत्र, गुण, प्रकार और हल किए हुए उदाहरण आसान भाषा में समझेंगे।

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समकोण त्रिभुज क्या है? (परिभाषा)

जिस त्रिभुज का एक कोण ठीक 90° का होता है, उसे समकोण त्रिभुज कहते हैं।

समकोण त्रिभुज में तीन भुजाएँ होती हैं:

• आधार (Base)
• लंब/ऊँचाई (Perpendicular / Height)
• कर्ण (Hypotenuse) – यह हमेशा सबसे लंबी भुजा होती है और 90° वाले कोण के सामने होती है।

याद रखने की ट्रिक: समकोण के सामने वाली भुजा = कर्ण (सबसे लंबी)

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समकोण त्रिभुज के मुख्य भाग

• 1 कोण = 90° (समकोण)
• बाकी 2 कोणों का योग = 90°
• कर्ण > आधार और ऊँचाई (हमेशा बड़ा)

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समकोण त्रिभुज के महत्वपूर्ण सूत्र (Formulas)

नीचे दिए गए सूत्र परीक्षा में सबसे ज़्यादा काम आते हैं:

पाइथागोरस प्रमेय

यदि

• आधार = $a$a
• ऊँचाई = $b$b
• कर्ण = $c$c

तो,$$c^2 = a^2 + b^2$$c2=a2+b2

यानि कर्ण² = आधार² + ऊँचाई²

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क्षेत्रफल (Area)

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times आधार \times ऊँचाई$$क्षेत्रफल=21​×आधार×ऊँचाई

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परिमाप (Perimeter)

$$\text{परिमाप} = आधार + ऊँचाई + कर्ण$$परिमाप=आधार+ऊँचाई+कर्ण

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कर्ण निकालने का सूत्र

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$c=a2+b2​

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ऊँचाई या आधार निकालने का सूत्र

यदि कर्ण और एक भुजा दी हो:$$\text{अन्य भुजा} = \sqrt{c^2 – (\text{दी गई भुजा})^2}$$अन्य भुजा=c2−(दी गई भुजा)2​

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समकोण त्रिभुज के गुण (Properties)

• एक कोण हमेशा 90° होता है।
• कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है।
• शेष दो कोण मिलकर 90° बनाते हैं।
• पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुज पर लागू होता है।
• त्रिकोणमिति (sin, cos, tan) के सभी अनुपात इसी पर आधारित होते हैं।

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समकोण त्रिभुज के प्रकार

1. समद्विबाहु समकोण त्रिभुज

इसमें दो भुजाएँ बराबर होती हैं।
कोण होते हैं: 45°, 45°, 90°

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2. विषमबाहु समकोण त्रिभुज

इसमें तीनों भुजाएँ अलग-अलग होती हैं।
उदाहरण: 3-4-5 त्रिभुज

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हल किए हुए उदाहरण (Examples)

उदाहरण 1

आधार = 6 cm, ऊँचाई = 8 cm
कर्ण ज्ञात करें।$$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$c2=62+82=36+64=100 $$c = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$$c=100​=10 cm

उत्तर: कर्ण = 10 cm

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उदाहरण 2

कर्ण = 13 cm, आधार = 5 cm
ऊँचाई ज्ञात करें।$$b^2 = 13^2 – 5^2 = 169 – 25 = 144$$b2=132−52=169−25=144 $$b = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$$b=144​=12 cm

उत्तर: ऊँचाई = 12 cm

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उदाहरण 3 (क्षेत्रफल)

आधार = 10 cm, ऊँचाई = 4 cm$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20 \text{ cm}^2$$क्षेत्रफल=21​×10×4=20 cm2

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FAQs – अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

समकोण त्रिभुज किसे कहते हैं?

जिस त्रिभुज में एक कोण 90° का हो, उसे समकोण त्रिभुज कहते हैं।

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समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा कौन-सी होती है?

कर्ण (Hypotenuse) सबसे लंबी भुजा होती है।

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क्या हर त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय लागू होता है?

नहीं, यह केवल समकोण त्रिभुज पर ही लागू होता है।

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समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं?

½ × आधार × ऊँचाई

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3-4-5 त्रिभुज क्यों प्रसिद्ध है?

क्योंकि इसमें 3² + 4² = 5² होता है, जो पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करता है।

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निष्कर्ष

समकोण त्रिभुज गणित की रीढ़ माना जाता है। इसके सूत्र, गुण और उदाहरण समझ लेने से क्षेत्रमिति, त्रिकोणमिति और ज्यामिति के कई अध्याय अपने-आप आसान हो जाते हैं। अगर आप प्रतियोगी परीक्षाओं या स्कूल की तैयारी कर रहे हैं, तो समकोण त्रिभुज पर मजबूत पकड़ बनाना बेहद ज़रूरी है।